多重比較法（Williams）

Tukey-Kramer・Bonferroniについて書きましたが、他の方法が解説されているページを見つけたので、その中でも自分が使いそうなWilliamsを書いておきます。

http://www012.upp.so-net.ne.jp/doi/biostat/biostat.html
下の方の（多重比較）のところです。

Williamsは、群間に順位のあるときに採用される検定です。
全ての群をまとめた仮説を立て、それから徐々に群を狭めていく方法をとります。

群が4つある場合
$H_{1234},\ H_{123},\ H_{12}$
と仮説を立て、左から検定していきます。

仮説が棄却されたときは、さらに右の仮説を検定します。
仮説が棄却されなかったときは、その仮説より右の仮説は保留されます。

群のプール

$\mu_1\leq\mu_2\leq\mu_3\leq\mu_4$
を示したいときに、

$\bar{x}_1\leq\bar{x}_2\leq\bar{x}_3>\bar{x}_4$
のように標本平均の不等号が逆になっている箇所がある場合は、群をプールする必要があります。

やり方は簡単で、群1と群2の平均を出すだけです。
$\bar{x}_1\leq\bar{x}_2\leq\bar{x}_{34}$

それでも不等号が逆になっている場合、
$\bar{x}_1\leq\bar{x}_2>\bar{x}_{34}$

不等号の順番が全て同じになるまで、群をプールしていきます。
$\bar{x}_1\leq\bar{x}_{234}$

統計量y

標本が4群あって、群のプールが必要ないときを例にして計算方法を説明していきます。

各群のデータの合計を $T_i$ として、統計量yを計算します。
$\displaystyle y_{24}=\frac{T_2+T_3+T_4}{n_2+n_3+n_4}\\ \displaystyle y_{34}=\frac{T_3+T_4}{n_3+n_4}\\ \displaystyle y_{44}=\frac{T_4}{n_4}$

$\mu_1\leq\mu_2\leq\mu_3\leq\mu_4$ を示したいときは、計算したyの中での最大値Mを、
$\mu_1\geq\mu_2\geq\mu_3\geq\mu_4$ を示したいときは、計算したyの中での最小値mを導きます。

検定

検定は、t検定で行います。

$\mu_1\leq\mu_2\leq\mu_3\leq\mu_4$ を示したいときは、
$\displaystyle \mathrm{t}値 = \frac{M-\overline{x}_{1}}{\sqrt{{\hat\sigma}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_4})}}$

$\mu_1\geq\mu_2\geq\mu_3\geq\mu_4$ を示したいときは、
$\displaystyle \mathrm{t}値 = \frac{\overline{x}_1-m}{\sqrt{{\hat\sigma}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_4})}}$